В 1963 году Дроздов получил диплом. До 1966 года он учился в аспирантуре на кафедре биогеографии географического факультета МГУ. Окончив аспирантуру, Дроздов не покинул университет. Сначала он работал научным сотрудником, потом доцентом, а в 2000 году стал профессором. Дроздов не только преподает в МГУ, он часто читает лекции за рубежом.
В 1968 году Николай Дроздов впервые попал на известную телепередачу «В мире животных», которая уже тогда была популярна. Дроздова пригласили в качестве выступающего. Также он консультировал создателей таких фильмах о животных, как «Рики-Тики-Тави».